Matematisk Analyse 3b

Hermed følger en vejledning til regning af opgaver med følger og potensrækker. Opmærksomheden henledes på, at det ikke har været meningen hermed at skrive en alternativ lærebog, thi en sådan ville være blevet disponeret anderledes. Det er derimod mit håb, at teksten kan bruges som et alternativ til de gængse lærebøger, hvori alle beviserne findes.

Teksten forudsætter Ventus: Matematisk Analyse 1a, Funktioner i en Variabel, og det vil lægge op til en kommende bog Ventus: Matematisk Analyse 4b, Fourierrækker, Differentialligninger og Egenværdiproblemer. Derimod vil Ventus: Matematisk Analyse 2b, Funktioner i flere Variable kun sporadisk være nødvendig.

Kapitel 1 i denne fil er en repetition af nyttige formler, som vil blive brugt igen og igen. Dette indledende kapitel bør studeres grundigt sammen med Appendix A, der består af en samling af de formler, der underforstås kendt fra gymnasiet og tidligere kurser i Matematisk Analyse. Da de ikke vil blive gennemgået, vil det være en god ide, om man i løbet af semestret selv lærte de fleste formler i Appendix A udenad.

Selve teksten falder i to hovedafsnit, 1) talfølger og funktionsfølger, og 2) talrækker og potensrækker, idet de mere generelle funktionsrækker kun berøres sporadisk. Det har specielt været praktisk at udskyde Fourierrækkerne til en senere bog, fordi det naturlige konvergensbegreb ikke er det, som der fokuseres på her.

Indskud i form af bemærkninger og eksempler og lignende afsluttes med symbolet <>.

Leif Mejlbro

1. Repetition af vigtige formler
   1. Dekomposition
   2. Trigonometriske formler
   3. Notationer og konventioner
   4. Standardpotensrækker
   5. Potensagtige standardrækker
   6. Genkendelse af potensagtige rækker
   7. Eksponentialagtige standardrækker
   8. Genkendelse af eksponentialagtige rækker
   9. Integration af trigonometriske polynomier
   10. Brug af lommeregnere
2. Reelle talfølger, folklore
   1. Størrelsesorden
   2. Kvadratrødder m.m.
   3. Taylors grænseformel
   4. Standardfølger
3. Praktiske metoder ved talfølger
   1. Talfølger
   2. Iterative talfølger
   3. Funktionsfølger
4. Rækker generelt; metoder ved opgaver
   1. Definition
   2. Regneregler
   3. Indexskift
   4. Et generelt råd
   5. Elementære standardrækker
   6. Konvergenstyper
   7. Uddybende kommentarer til flowdiagrammet
   8. Konvergenskriterier
   9. Uendelige rækker med variable led
5. Potensrækker; metoder ved opgaveregning
   1. Standardpotensrækker
   2. Struktur af standardrækker
   3. Konvergensforhold for potensrækker
   4. Resume af vigtige sætninger
   5. Sum ved ledvis differentiation eller integration
   6. Potensrækkemetoden
   7. Rekursionsformler og differensligninger
   8. Anden ordens differentialligninger (staldfiduser)
   9. Anden ordens differentialligninger
6. Formler
   1. Kvadrater m.m.
   2. Potensregler m.m.
   3. Differentiationsregler
   4. Specielle afledede
   5. Integrationsregler
   6. Specielle stamfunktioner
   7. Trigonometriske formler
   8. Hyperbolske formler
   9. Komplekse overgangsformler
   10. Taylorudviklinger
   11. Størrelsesorden