Matematisk Analyse 1a

Forlaget VENTUS bad mig for nylig om at skrive en oversigt over de mest almindelige emner i et første kursus i Matematisk Analyse på universitetsniveau. Jeg har været meget glad for denne henvendelse, selv om jeg vidste, at det langtfra var nogen let opgave.

Man må formode, at de fleste studerende allerede har købt deres officielle lærebog. Jeg har derfor valgt at skrive disse kommentarer på en lidt anden måde end den sædvanlige inden for matematik. Jeg vil således langt fra altid bekymre mig om alt for rigoristiske antagelser og beviser. Formålet er at forklare hovedideerne og at advare alle de steder, hvor studerende traditionelt laver fejl.

Ved endnu en gennemlæsning af gængse lærebøger for de første kurser i Matematisk Analyse indså jeg, at da jeg har valgt ikke at være bundet af en streng logisk struktur, hvor man altid bør tage hensyn til de studerendes givne niveau, kunne jeg tillade mig at give nogle supplerende resultater, som ikke kan gives i normale lærebøger uden at ødelægge disses generelle linie. Dette har været ganske fornøjeligt for mig, og jeg håber, at læseren vil finde disse tilføjelser ganske nyttige. Ved samme lejlighed fik jeg berørt de fleste emner, som traditionelt forekommer i et førstesemesters kursus i Matematisk Analyse.

Jeg har haft nogle tekniske problemer med det format, som VENTUS ønskede. Dette har betydet, at jeg måtte vælge mellem enten at indramme vigtige formler, eller at give dem et nummer, uanset om de bliver brugt senere eller ej. En indramning ville virke alt for voldsom ved læsningen, så jeg valgte at give dem alle et nummer. Der bliver nu en lille sammenblanding med andre, mindre betydningsfulde formler, som benyttes som et mellemtrin til et senere resultat. Det har ikke været muligt for mig at adskille disse to aspekter ved nummersystemet, men jeg håber, at det trods alt ikke vil forvirre læseren.

Alle de nyttige formler er samlet i Appendix. Læseren kan bruge disse som referencer, eller endnu bedre – lære dem udenad, hvilket man anbefales, omend ikke forventes.

Det bør igen understreges, at dette ikke må opfattes som en lærebog i sig selv, der kan stå alene. Teksten bør opfattes som et supplement til eksisterende lærebøger, og jeg håber, at disse supplerende kommentarer kan inspirere til nye ideer til, hvordan problemer i Matematisk Analyse kan løses.

Leif Mejlbro

1. Komplekse Tal
   1. Indledning
   2. Definition
   3. Rektangulær beskrivelse i den euklidiske plan
   4. Beskrivelse af komplekse tal i polære koordinater
   5. Algebraiske regneregler i rektangulære koordinater
   6. Den komplekse eksponentialfunktion
   7. Regneregler i polære koordinater
   8. Rødder i polynomier
2. De elementære Funktioner
   1. Indledning
   2. Inverse funktioner
   3. Logaritmer og eksponentialfunktioner
   4. Potensfunktioner
   5. Trigonometriske funktioner
   6. Hyperbolske funktioner
   7. Areafunctioner
   8. Arcusfuntioner
   9. Størrelsesorden
3. Differentiation
   1. Indledning
   2. Definition og geometrisk fortolkning
   3. Et katalog over kendte afledede
   4. Simple regneregler
   5. Differentiation af sammensatte funktioner
   6. Differentiation af en implicit given funktion
   7. Differentiation af en invers funktion
4. Integration
   1. Indledning
   2. Et katalog over standardstamfunktioner
   3. Regneregler for integration
   4. Integration ved substitution
   5. Kompleks dekomposition af brudne rationale funktioner
   6. Integration af en brudden rational function
   7. Integration af trigonometriske polynomier
5. Simple differentialligninger
   1. Indledning
   2. Differentialligninger, som kan løses ved separation
   3. Den lineære differentialligning af første orden
   4. Lineære differentialligninger med konstante koefficienter
   5. Eulers differentialligning
   6. Lineære differentialligninger af anden orden med variable koefficienter
6. Approximationer af funktioner
   1. Indledning
   2. e – funktioner
   3. Taylors formel
   4. Taylorudviklinger for standardfunktioner
   5. Grænseværdier
   6. Asymptoter
   7. Approksimationer af integraler
   8. Diverse anvendelser
7. Formler
   1. Kvadrater m.m
   2. Potensregler m.m
   3. Differentiationsregler
   4. Specielle afledede
   5. Integrationsregler
   6. Specielle stamfunktioner
   7. Trigonometriske formler
   8. Hyperbolske formler
   9. Komplekse overgangsformler
   10. Taylorudviklinger
   11. Størrelsesorden