Matematikk 2B

Matematikk 2B er det tredje av fem kompendier som til sammen omhandler matematikk og statistikk for bachelorstudenter i teknologiske fag, men som også har en intensjon om et bredere nedslagsfelt. Det inneholder vanlige elementer som setninger, definisjoner, begrunnelser, utledninger, eksempler, illustrasjoner og oppgaver, men man finner relativt få formelle bevis. Ingeniørstudiet er innrettet slik at veien til anvendelsene forventes å være kort, og mange av studentene vil oppleve at formell bevisføring ikke automatisk fremmer læring og motivasjon. Det jeg har valgt å kalle "Setning" favner vidt og består av resultater det kan være verdt å fremheve.

Jeg har latt meg inspirere og påvirke av en rekke lærebøker. Tom M. Apostols lærebok Calculus [1] (som ble brukt på Blindern) ga meg blant annet et første møte med ordinære differensiallikninger og komplekse tall. Blant lærebøker jeg selv har undervist etter kan nevnes to bøker av Edwards og Penney; Kalkulusboken [3] og "Differential Equations and Boundary Value Problems" [4]. Erfaring med Erwin Kreyszigs bok, "Advanced Engineering Mathematics" [5] har vært nyttig å ta med seg innenfor det mer ingeniørrettede stoffet. Steffen Logs "Matematikk for Ingeniørhøgskolen 2" [6] ble brukt av ingeniørstudenter i lang tid og har nok også påvirket meg. Logs mer nylig utgitte Mathema-bok [7] har dannet grunnlag for en del konvensjoner siden dette læreverket har vært i bruk ved Høgskolen i Telemark, fakultet for teknologiske fag i de senere år.

Til mange av eksemplene i kompendiet er det knyttet konkrete Maple-instruksjoner (for informasjon om Maple). Her har jeg lært mye av mine kolleger ved Høgskolen i Telemark og i særdeleshet Harald Pleym. Noen kommandoer forutsetter innhenting av spesielle pakker for å virke, og slike pakkeinnhentinger er derfor inkludert i kommandosekvensene. Enkelte ganger har jeg benyttet pakkene calc og calcplot. Disse er laget av Harald Pleym, og er per i dag ikke en integrert del av Maple-programmet. De kan likevel lastes ned som en del av et nettsupplement til lærebokverket Mathema.

Min tidligere arbeidsgiver, Høgskolen i Oslo (og Akershus), og min nåværende arbeidsgiver, Høgskolen i Telemark, har gitt meg tillatelse til å benytte tidligere eksamensoppgaver fra deres institusjon, noe jeg er svært takknemlig for. Rent praktisk markerer symbolet ▲ (i de fleste tilfeller) overgangen til noe nytt, som oftest avslutningen av et eksempel.

Til slutt vil jeg rette en stor takk til førsteamanuensis Ivar Skau, som etter gjennomlesning har påpekt feil og mangler, og som i tillegg har kommet med verdifulle forslag til forbedringer, som jeg i stor grad har forsøkt å følge opp. Siden jeg hele tiden ønsker å gjøre forbedringer, vil alle konstruktive innspill fra lesere bli mottatt med takk.

• Forord

1. Komplekse tall
   1. Det komplekse tallplanet
   2. Regneregler for komplekse tall
   3. Eulers formel og dens implikasjoner
   4. Likninger med komplekse løsninger
   5. Avbildning av kurver i det komplekse planet
   6. Flenskoblinger og komplekse tall
   7. Oppgaver til Kapittel 1
2. Ordinære differensiallikninger
   1. Innledning
   2. Førsteordens separable differensiallikninger
   3. Førsteordens lineære differensiallikninger
   4. Anvendelser relatert til Torricellis lov og Newtons 2. lov
   5. Numerisk løsning av førsteordens differensiallikninger
   6. Andreordens lineære differensiallikninger med konstante koeffisienter
   7. Løsning av differensiallikninger med annihilatormetoden
   8. Oppgaver til Kapittel 2
3. Fourieranalyse
   1. Fourierrekker og ortogonalitet
   2. Periodiske funksjoner og deres fourierrekker
   3. Fourierrekker til like og odde funksjoner
   4. Halvperiodiske utvidelser
   5. Fourierrekker og signalbehandling
   6. Fourierrekker på kompleks form
   7. Fourierintegral og fouriertransform
   8. Grunnleggende egenskaper for foriertransformen
   9. Konvolusjonsprodukt
   10. Fourierspekter og fasevinkel
   11. Oppgaver til Kapittel 3
4. Laplacetransformasjoner
   1. Definisjon av laplacetransformen
   2. Laplacetransformasjon av noen spesielle funksjoner
   3. Noen grunnleggende egenskaper
   4. Invers laplacetransform
   5. Laplacetransform av differensial- og integrallikninger
   6. Løsning av differensiallikningssystemer
   7. Enhetssprangfunksjoner. Tidsforskyvning
   8. Impulsfunksjoner
   9. Konvolusjon/folding
   10. Derivert av en laplacetransform
   11. Transferfunksjoner
   12. Stabilitet av systemer
   13. Oppgaver til Kapittel 4
5. Z-transformasjoner
   1. Innledning
   2. Z-transform av ulike typer følger
   3. Inverse Z-transformer
   4. Løsning av rekursjonslikninger ved Z-transformasjoner
   5. Oppgaver til Kapittel 5

• Referanser
• Fasit til oppgavene
• Stikkordsregister