Matematikk 2A: Lineær Algebra

Matematikk 2A er det andre av fem kompendier som til sammen omhandler matematikk og statistikk for bachelorstudenter i teknologiske fag, men som også har en intensjon om et bredere nedslagsfelt. Det inneholder vanlige elementer som setninger, definisjoner, begrunnelser, utledninger, eksempler, illustrasjoner og oppgaver, men man finner relativt få formelle bevis. Ingeniørstudiet er innrettet slik at veien til anvendelsene forventes å være kort, og mange av studentene vil oppleve at formell bevisføring ikke automatisk fremmer læring og motivasjon. Det jeg har valgt å kalle "Setning" favner vidt og består av resultater det kan være verdt å fremheve.

Jeg har latt meg inspirere og påvirke av en rekke lærebøker. Tom M. Apostols lærebok Calculus [1] sitter i ryggmargen siden den ble brukt på Blindern. Når det gjelder koblingen mellom teori og anvendelser synes jeg boka "Applied Linear Algebra" til Olver og Shakiban [2] er svært god. Ellers vil man alltid bli påvirket av lærebøker man har undervist etter. Lays bok "Linear Algebra and its applications" [3] er en bok jeg absolutt har hentet inspirasjon fra. Læreboka [4], til Steffen Log, ble brukt av ingeniørstudenter over en lang tidsperiode og har således også satt sitt preg på undertegnede. Logs mer nylig utgitte verk Mathema [5] har dannet grunnlag for en del konvensjoner siden dette læreverket har vært i bruk ved Høgskolen i Telemark, fakultet for teknologiske fag i de senere år.

Til mange av eksemplene i kompendiet er det knyttet konkrete Maple-instruksjoner (for informasjon om Maple). Her har jeg lært mye av mine kolleger ved Høgskolen i Telemark og i særdeleshet Harald Pleym. Noen kommandoer forutsetter innhenting av spesielle pakker for å virke, og slike pakkeinnhentinger er derfor inkludert i kommandosekvensene. Enkelte ganger har jeg benyttet pakkene calc og calcplot. Disse er laget av Harald Pleym, og er per i dag ikke en integrert del av Maple-programmet. De kan likevel lastes ned som en del av et nettsupplement til lærebokverket Mathema.

Min tidligere arbeidsgiver, Høgskolen i Oslo (og Akershus), og min nåværende arbeidsgiver, Høgskolen i Telemark, har gitt meg tillatelse til å benytte tidligere eksamensoppgaver fra deres institusjon, noe jeg er svært takknemlig for. Rent praktisk markerer symbolet ▲ (i de fleste tilfeller) overgangen til noe nytt, som oftest avslutningen av et eksempel.

Til slutt vil jeg rette en stor takk til førsteamanuensis Ivar Skau, som etter gjennomlesning har påpekt feil og mangler, og som i tillegg har kommet med verdifulle forslag til forbedringer, som jeg i stor grad har forsøkt å følge opp. Siden jeg hele tiden ønsker å gjøre forbedringer, vil alle konstruktive innspill fra lesere bli mottatt med takk.

• Forord

1. Matriser og likningssystemer
   1. Matriser
   2. Likningssystemer
   3. Løsning av lineære likningssystemer uten hjelp av matriser
   4. Sammenhengen mellom matriser og likningssystemer. Rekkeoperasjoner på matriser
   5. Likningsløsning ved Gauss-eliminasjon. Matriser på trappeform
   6. Likningssystemer med ingen eller uendelig mange løsninger
   7. Matriser på redusert trappeform. Gauss-Jordan-eliminasjon
   8. Parameteravhengige likningssystemer
   9. Løsninger skrevet på vektorform
   10. Oppgaver til Kapittel 1
2. Noen enkle anvendelser relatert til likningssystemer
   1. Balansering av kjemiske likninger
   2. Nettverksflyt
   3. Diettsammensetning
   4. Elektrisk nettverk
   5. Maple-kommandoer til generering av matriser og likningssystemer
   6. Oppgaver til Kapittel 2
3. Matrisealgebra
   1. Formen til en matrise
   2. Addisjon av matriser
   3. Konstant multiplisert med matrise
   4. Matrise multiplisert med matrise
   5. Enhetsmatriser - matrisenes ettall
   6. Matrisepotenser
   7. Inverse matriser
   8. Inverteringsmetoder
   9. Løsning av likningssystemer ved matriseinvertering
   10. Oppgaver til Kapittel 3
4. Minste kvadraters metode
   1. Tilpasning til rett linje
   2. Matriseformalisme og minste kvadraters metode
   3. Tilpasning til høyeregrads polynom
   4. Oppgaver til Kapittel 4
5. Beregninger relatert til fagverk
   1. Sammenhengen mellom nodeforflytning og endringer i stavlengde
   2. Redusert insidensmatrise og statisk bestemte strukturer
   3. Beregning av indre stavkrefter
   4. Oppsummering
   5. Beregning av indre krefter i fagverk ved hjelp av Maple
   6. Oppgaver til Kapittel 5
6. Determinanter
   1. Aksiomatisk grunnlag
   2. Entydighet av determinantfunksjon
   3. Regneoperasjoner avledet av aksiomene
   4. Alternativ metode for determinantberegning
   5. Kofaktorer
   6. Invertering av matriser etter kofaktormetoden
   7. Et par regneregler for determinanter
   8. Determinanter som måltall for areal og volum
   9. Cramers regel
   10. Singulære og ikke-singulære matriser
   11. Oppgaver til Kapittel 6
7. Vektorrom og lineær uavhengighet
   1. Aksiomer for vektorrom
   2. Lineær uavhengighet
   3. Geometrisk motivering for begrepet lineær uavhengighet
   4. Basis og dimensjon
   5. Kolonnerom, rekkerom og rang
   6. Nullrommet til en matrise
   7. Dimensjonssetningen
   8. Lineær uavhengighet oppsummert
   9. Oppgaver til Kapittel 7
8. Lineære transformasjoner
   1. Hva er en lineær transformasjon?
   2. Matrisen til en lineær transformasjon
   3. Geometriske lineærtransformasjoner
   4. Sammensatte lineærtransformasjoner
   5. Oppgaver til Kapittel 8
9. Translasjoner og affine transformasjoner
   1. Translasjoner
   2. Affine transformasjoner
   3. Homogene koordinater
   4. Oppgaver til Kapittel 9
10. Egenverdier og egenvektorer
    1. Homogene likningssystemer
    2. Egenverdier og egenvektorer
    3. Geometrisk bestemmelse av egenverdier og egenvektorer
    4. Egenrom
    5. Noen setninger relatert til egenvektorer og egenverdier
    6. Oppgaver til Kapittel 10
11. Anvendte egenverdiproblemer
    1. Diskrete lineære systemer
    2. Grafisk beskrivelse av løsninger
    3. Kontinuerlige lineære systemer
    4. Oppgaver til Kapittel 11
12. Diagonalisering
    1. Tilknytning til egenverdier og egenvektorer
    2. Potensering av en diagonaliserbar matrise
    3. Diagonaliserbarhet og inverterbarhet
    4. Diskrete og kontinuerlige systemer løst ved diagonalisering
    5. Oppgaver til Kapittel 12
13. Basis- og koordinatskifte
    1. Basisskiftematriser
    2. Koordinatskifte
    3. Matriser relativt ulike basiser
    4. Basisskifte og diagonalisering
    5. Koordinatskifte og klassifisering av kjeglesnitt
    6. Oppgaver til Kapittel 13

• Referanser
• Fasit til oppgavene
• Stikkordsregister