Matematiske værktøjer i Signalanalyse

Formålet med denne bog er at beskrive nogle matematiske værktøjer i Signalanalyse. Man kan i Anvendt Matematik ikke undgå også at komme ind på Kompleks Funktionsteori, så Kapitel 1 er et kort resumé (uden beviser) af denne teori. Se evt. Leif Mejlbro, Kompleks Funktionsteori, Matematisk Institut, Danmarks Tekniske Højskole, 1992. Dernæst følger som en anvendelse Kapitel 2 om Laplace-transformationen, se evt. Leif Mejlbro, Laplace-transformationen, Matematisk Institut, Danmarks Tekniske Højskole, 1981, for flere detailler. I Kapitel 3 behandles Z-transformationen, der kan opfattes som en diskret Laplace-transformation.

I Kapitel 4 resumeres Fourierrækkerne. Da disse burde være kendt fra tidligere matematikkurser, gås der ikke i dybden med teorien. I stedet gives en kort oversigt over nogle standard Fourierrækker.

Derimod vil Kapitel 5, Fouriertransformationen, nok af mange blive oplevet som et brud på gængse matematiske traditioner. For at imødekomme ingeniørers brug af δ-"funktionen" indføres Fouriertransformationen på de generelle distributioner, hvor disse omfatter de sædvanlige funktioner suppleret op med bl.a. δ. Teorien skitseres uden beviser; dog burde læseren alligevel kunne få en fornemmelse af, at der overhovedet ikke er noget mystisk ved anvendelsen af δ-"funktionen" i ingeniørmæssig sammenhæng. Med andre ord, der lovliggøres her en mængde klassisk set "ulovlige regneoperationer". Interesserede læsere henvises evt. til Leif Mejlbro, Distributionsteori, Matematisk Institut, Danmarks Tekniske Højskole, 1977, og Leif Mejlbro, Funktionalanalyse, Appendix C, Dirac-målet δ, Matematisk Institut, Danmarks Tekniske Højskole, 1983.

Der er desværre ikke enighed om konstanterne i definitionen af Fouriertransformationen. Der er tradition for fire forskellige varianter, hvor de hver især er velegnet til sin specielle situation. Vi får her brug for tre af dem, som benævnes F1 (Kapitel 5), F2 (Kapitel 6) og F3 (Kapitel 7). De kan principielt anvendes overalt, så en logisk fremgangsmåde ville naturligvis have været blot at vælge en af dem, fx. F1; men dette ville have ført til en række irriterende konstanter i Kapitel 6 og Kapitel 7, og analogt, hvis vi havde valgt en af de andre. Det er naturligvis lidt uskønt at arbejde med tre forskellige definitioner af det samme objekt; men her har jeg ladet mig lede af traditionen inden for hvert kapitel. Jeg håber, at læseren vil bære over med denne lille uskønhed.

I Kapitel 6 udledes samplingssætningen (Shannons sætning). Udgangspunktet er her matematisk interpolation, hvoraf Shannons sætning let følger. Den interesserede læser henvises til Leif Mejlbro, Funktionalanalyse, Appendix B, Fouriertransformationen i L2 og samplingssætningen, Matematisk Institut, Danmarks Tekniske Højskole.

I Kapitel 7 behandles den diskrete Fouriertransformation og Fast Fourier Transform. Her henvises læseren til A. Bruce Carlson, Communication Systems, McGraw-Hill Internation Editions, Electrical & Elektronic Engineering Series, Third Edition, 1986, hvad angår flere detailler.

Endelig er der i Appendix samlet de mest simple trigonometriske formler samt nogle mulige fremgangsmåder ved integration af trigonometriske polynomier.

13. december 2007

Leif Mejlbro

1. Kompleks Funktionsteori
   1. Indledning
   2. Analytiske funktioner
   3. Simple eksempler på analytiske funktioner
   4. Cauchys integralsætninger
   5. Cauchys integralformel
   6. Potensrækker
   7. Nogle kendte potensrækker ud fra z0 = 0
   8. Laurenstrækker
   9. Residuer
   10. Anvendelser af residueregning
2. Laplace-transformationen
   1. Indledning
   2. Laplace-transformationen
   3. Nogle Laplace-transformerede
   4. Regneregler for Laplace-transformationen
   5. Den inverse Laplace-transformationen
   6. Tabeller over visse inverse Laplace-transformerede
3. Z-transformationen
   1. Indledning
   2. Kontinuerte reguleringssystemer
   3. Tidsdiskrete reguleringssystemer
   4. Heuristiske matematiske overvejelser
   5. Definition af z-transformationen
   6. Regneregler for z-transformationen
   7. Den inverse z-transformation
4. Fourierrækker
   1. Generelt
   2. Standardmetode
   3. Standard-Fourierrækker
   4. Firkantfunktion
   5. Den identiske funktion i ] – ?, ? [
   6. Første savtakfunktion
   7. Anden savtakfunktion
   8. Udvikling af consinus i sinus-række over en halv periode
   9. Symmetrisk parabelbue i [ – ?, ? ]
   10. Hyperbolsk cosinus i [ – ?, ? ]
   11. Eksponentialfunktion over ] – ?, ? ]
5. Fouriertransformationen
   1. Indledning
   2. LP-rummene
   3. Fouriertransformationen i L1 (R)
   4. Fouriertransformationen i Schwartz-rummet S
   5. Dualrummet S’
   6. Regneregler i S’
   7. Fourierrækker for periodiske tempererede distributioner
6. Samplingssætningen
   1. Indledning
   2. Forberedelser
   3. Paley-Wieners sætning
   4. Samplingssætningen
7. Den diskrete Fouriertransformation (DFT)
   1. Indledning
   2. Ideel sampling
   3. Den diskrete Fouriertransformation (DFT)
   4. Spektralanalyse med den diskrete Fouriertransformation
   5. Foldning med den diskrete Fouriertransformation
   6. Fast Fourier Transform (FFT)
8. Appendix
   1. Trigonometriske formler
   2. Integration af trigonometriske polynomier