Sannsynlighetsregning og statistikk

Sannsynlighetsregning og statistikk er det siste av fem kompendier som til sammen omhandler matematikk og statistikk for bachelorstudenter i teknologiske fag, men som også har en intensjon om et bredere nedslagsfelt. Det inneholder vanlige elementer som setninger, definisjoner, begrunnelser, utledninger, eksempler, illustrasjoner og oppgaver, men man finner relativt få formelle bevis. Ingeniørstudiet er innrettet slik at veien til anvendelsene forventes å være kort, og mange av studentene vil oppleve at formell bevisføring ikke automatisk fremmer læring og motivasjon. Det jeg har valgt å kalle "Setning" favner vidt og består av resultater det kan være verdt å fremheve.

I arbeidet med kompendiet har jeg latt meg inspirere av ulike lærebøker. Jeg vil særlig fremheve Hastings’ bok "Probability and Statistics" [1] og boken til Larsen og Marx "An introduction to Mathematical Statistics and Its Applications" [2]. Man blir nok også påvirket av lærebøker man har undervist etter. I denne kategorien kan nevnes Kerstin Vännmans bok "Matematisk Statistikk" [5] og mer nylig "Statistikk for universiteter og høgskoler" av Gunnar G. Løvås [6]. Den ikke-parametriske tilnærmingen i Fred Wenstøps "Statistikk og Dataanalyse" [7] også satt sine spor.

Til mange av eksemplene i kompendiet er det knyttet konkrete Maple-instruksjoner (for informasjon om Maple). Her har jeg lært mye av mine kolleger ved Høgskolen i Telemark og i særdeleshet Harald Pleym. Noen kommandoer forutsetter innhenting av spesielle pakker for å virke, og slike pakkeinnhentinger er derfor inkludert i kommandosekvensene.

Min tidligere arbeidsgiver, Høgskolen i Oslo (og Akershus), og min nåværende arbeidsgiver, Høgskolen i Telemark, har gitt meg tillatelse til å benytte tidligere eksamensoppgaver fra deres institusjon, noe jeg er svært takknemlig for. Rent praktisk markerer symbolet ▲ (i de fleste tilfeller) overgangen til noe nytt, som oftest avslutningen av et eksempel.

Til slutt vil jeg rette en stor takk til førsteamanuensis Ivar Skau, som etter gjennomlesning har påpekt feil og mangler, og som i tillegg har kommet med verdifulle forslag til forbedringer, som jeg i stor grad har forsøkt å følge opp. Siden jeg hele tiden ønsker å gjøre forbedringer, vil alle konstruktive innspill fra lesere bli mottatt med takk.

Porsgrunn, juni 2013, Kai F. Kristensen (kai.f.kristensen@hit.no)

• Forord

1. Deskriptiv statistikk
   1. Beliggenhetsmål
   2. Spredningsmål
   3. Grafisk representasjon av datamaterialet
   4. Inndeling i grupper/klasser
   5. Mål for beliggenhet og spredning i gruppert/klasseinndelt materiale
   6. Kumulative fordelinger
   7. Tsjebytsjevs ulikhet
   8. Oppgaver til Kapittel 1
2. Aksiomatisk sannsynlighetsregning
   1. Koblingen til relativ frekvens
   2. Litt terminologi
   3. Venn-diagram
   4. Aksiomatisk tilnærming
   5. Regneeksempler
   6. de Morgans lover
   7. Betinget sannsynlighet
   8. Uavhengige hendelser
   9. Uavhengighet av komplementhendelser
   10. Oppgaver til Kapittel 2
3. Kombinatorikk og sannsynlighet
   1. Produktregelen (multiplikasjonsprinsippet)
   2. Ulike typer utvalg
   3. Ordnet utvalg med tilbakelegging - potensregelen
   4. Ordnet utvalg uten tilbakelegging - permutasjoner
   5. Antall rekkefølger - et spesialtilfelle
   6. Permutasjoner og fikspunkter
   7. Prinsippet om inklusjon og eksklusjon
   8. Uordnet utvalg uten tilbakelegging - kombinasjoner
   9. Bit-sekvenser
   10. Pascals trekant
   11. Uordnet utvalg med tilbakelegging
   12. Oppgaver til Kapittel 3
4. Diskrete sannsynlighetsmodeller
   1. Stokastiske variable
   2. Diskrete stokastiske variable
   3. Forventning og varians til diskrete variable
   4. Binomisk variabel
   5. Forventning og varians til en binomisk variabel
   6. Hypergeometrisk variabel
   7. Forventning og varians til en hypergeometrisk variabel
   8. Poissonfordelingen
   9. Forventning og varians til en poissonvariabel
   10. Oppgaver til Kapittel 4
5. Kontinuerlige sannsynlighetsmodeller
   1. Kontinuerlige stokastiske variable
   2. Forventning og varians til kontinuerlige variable
   3. Eksponensialfordelt variabel
   4. Forventning og varians til en eksponensialfordelt variabel
   5. Normalfordelt variabel
   6. Regning med normalfordelinger
   7. Standardisering av vilkårlige normalfordelinger
   8. Forventning og varians til normalfordelt variabel
   9. Litt om Weibull-fordelt variabel
   10. Kvantiler
   11. Oppgaver til Kapittel 5
6. Summer av stokastiske variable
   1. Simultane sannsynlighetsfordelinger
   2. Stokastisk uavhengighet
   3. Konvolusjonsprodukt
   4. Bruk av laplacetransformer
   5. Kovarians
   6. Forventning og varians til summer av stokastiske variable
   7. Summer av uavhengige variable
   8. Summer av uavhengige normalfordelte variable
   9. Sentralgrenseteoremet
   10. Tilnærming fra diskrete fordelinger
   11. Heltallskorreksjon
   12. Tilnærming fra kontinuerlige fordelinger
   13. Simulering av terningkast
   14. Eksakt fordeling av „sum øyne“ ved terningkast
   15. Genererende funksjoner til summer av diskrete variable
   16. Genererende funksjoner til summer av kontinuerlige variable
   17. Oppgaver til Kapittel 6
7. Estimering
   1. Punktestimering
   2. Estimering av forventning
   3. Estimering av varians
   4. Estimering av andeler
   5. Intervallestimering
   6. Intervallestimering av i en normalfordelingssituasjon
   7. Tilnærmede konfidensintervaller, estimering av andeler
   8. Oppgaver til Kapittel 7
8. Hypotesetesting
   1. Terminologi
   2. Binomisk test
   3. Hypotesetest i normalfordelingssituasjoner
   4. Tilnærmet Z-test for binomisk p. Andelstest
   5. P-verdi. Signifikanssannsynlighet
   6. Teststyrke og styrkefunksjoner
   7. Statistisk prosesskontroll
   8. Uparet T-test. To uavhengige utvalg
   9. Paret T-test
   10. x2-tester (Kjikvadrattester)
   11. Ikke-parametriske tester
   12. Oppgaver til Kapittel 8
9. Lineær regresjon
   1. Kovarians og korrelasjon
   2. Empirisk kovarians og korrelasjon
   3. Beste lineære tilpasningMinste kvadraters metode
   4. Den lineær-normale modellen - enkel regresjon
   5. Estimering av varians
   6. Estimering og testing av a og b i lineærnormal modell
   7. Intervallestimering av forventet repons y(x) = a + Bx
   8. Prediksjonsintervaller
   9. Modellkontroll
   10. Flere forklaringsvariable
   11. Hvor godt forklarer modellen observasjonene?
   12. Å trekke statistiske slutninger
   13. Oppgaver til Kapittel 9

• Referanser
• Fasit til oppgavene
• Stikkordsregister