Matematikk 1: Analyse av envariabelfunksjoner

Matematikk 1 er det første av fem kompendier som til sammen omhandler matematikk og statistikk for bachelorstudenter i teknologiske fag, men som også har en intensjon om et bredere nedslagsfelt. Det inneholder vanlige elementer som setninger, definisjoner, begrunnelser, utledninger, eksempler, illustrasjoner og oppgaver, men man finner relativt få formelle bevis. Ingeniørstudiet er innrettet slik at veien til anvendelsene forventes å være kort, og mange av studentene vil oppleve at formell bevisføring ikke automatisk fremmer læring og motivasjon. Det jeg har valgt å kalle "Setning" favner vidt og består av resultater det kan være verdt å fremheve.

Jeg har latt meg inspirere og påvirke av en rekke lærebøker. Tom M. Apostols lærebok Calculus [1] sitter i ryggmargen siden den ble brukt på Blindern. Senere har jeg verdsatt og blitt inspirert av Tom Lindstrøms bok "Kalkulus" [2] og særlig av hvordan han behandler stoff om rekker og genererende funksjoner. Ellers vil man alltid bli påvirket av lærebøker man har undervist etter. I denne kategorien kan nevnes Edwards og Penneys kalkulusbok [3]. Lærebøkene til Sigmund Soma [4] og [5] ble i likhet med bøkene til Steffen Log [6], [7] og [8] brukt av ingeniørstudenter over en lang tidsperiode og har således også satt sitt preg på undertegnede. Logs mer nylig utgitte bøker i "Mathema"-serien [9] og [10] har dannet grunnlag for en del konvensjoner siden dette læreverket de senere årene har vært i bruk ved Høgskolen i Telemark, fakultet for teknologiske fag.

Til mange av eksemplene i kompendiet er det knyttet konkrete Maple-instruksjoner (for informasjon om Maple). Her har jeg lært mye av mine kolleger ved Høgskolen i Telemark og i særdeleshet Harald Pleym. Noen kommandoer forutsetter innhenting av spesielle pakker for å virke, og slike pakkeinnhentinger er derfor inkludert i kommandosekvensene. Enkelte ganger har jeg benyttet pakkene calc og calcplot. Disse er laget av Harald Pleym, og er per i dag ikke en integrert del av Maple-programmet. De kan likevel lastes ned som en del av et nettsupplement til lærebokverket Mathema.

Min tidligere arbeidsgiver, Høgskolen i Oslo (og Akershus), og min nåværende arbeidsgiver, Høgskolen i Telemark, har gitt meg tillatelse til å benytte tidligere eksamensoppgaver fra deres institusjon, noe jeg er svært takknemlig for. Rent praktisk markerer symbolet ▲ (i de fleste tilfeller) overgangen til noe nytt, som oftest avslutningen av et eksempel.

Til slutt vil jeg rette en stor takk til førsteamanuensis Ivar Skau, som etter gjennomlesning har påpekt feil og mangler, og som i tillegg har kommet med verdifulle forslag til forbedringer, som jeg i stor grad har forsøkt å følge opp. Siden jeg hele tiden ønsker å gjøre forbedringer, vil alle konstruktive innspill fra lesere bli mottatt med takk.

• Forord

1. Reelle funksjoner og deres egenskaper
   1. Funksjonsbegrepet
   2. Noen viktige funksjoner og deres grafer
   3. Symmetri
   4. Asymptoter
   5. Inverse funksjoner
   6. Oppgaver til Kapittel 1
2. Grenseverdier, kontinuitet og deriverbarhet
   1. Grenser
   2. Kontinuitet
   3. Skjæringssetningen
   4. Deriverbarhet
   5. Derivasjonstabell
   6. Sekantsetningen
   7. L’Hôpitals regel
   8. Hva kan den deriverte brukes til?
   9. Oppgaver til Kapittel 2
3. Kjeglesnitt
   1. Sirkel
   2. Ellipse
   3. Parabel
   4. Hyperbel
   5. Klassifikasjon av kjeglesnitt
   6. Oppgaver til Kapittel 3
4. Implisitt derivasjon
   1. Implisitt derivasjon forklart ved hjelp av eksempler
   2. Logaritmisk derivasjon
   3. Derivasjon av inverse trigonometriske funksjoner
   4. Oppgaver til Kapittel 4
5. Anvendt derivasjon
   1. Lokale og globale ekstremalverdier
   2. Optimering
   3. Fartskoblede størrelser
   4. Newtons metode for nu merisk løsning av likninger
   5. Oppgaver til Kapittel 5
6. Bestemt og ubestemt integral.
   1. Antiderivasjon og ubestemte integraler
   2. Bestemte integraler
   3. Uegentlige integraler
   4. Oppgaver til Kapittel 6
7. Numerisk integrasjon
   1. Rektangelmetoden (midtpunktmetoden)
   2. Trapesmetoden
   3. Simpsons metode.
   4. Oppgaver til Kapittel 7
8. Integrasjonsteknikker
   1. Innføring av ny variabel (substitusjon)
   2. Delvis integrasjon
   3. Integrasjon ved delbrøkoppspalting
   4. Oppgaver til Kapittel 8
9. Anvendt integrasjon
   1. Arealberegning av plane flatestykker
   2. Volumberegning ved skivemetoden
   3. Volumberegning ved skallmetoden
   4. Beregning av kurvelengde/buelengde
   5. Areal av rotasjonsflater
   6. Oppgaver til Kapittel 9
10. Parametriserte kurver og polare koordinater
    1. Parameterfremstilling av kurver
    2. Areal knyttet til parametriserte kurver
    3. Buelengde av parametriserte kurver
    4. Polare koordinater
    5. Kurver i polare koordinater
    6. Areal i polare koordinater
    7. Buelengde i polare koordinater
    8. Oppgaver til Kapittel 10
11. Tallfølger og rekursjonslikninger
    1. Tallfølger
    2. Førsteordens rekursjonslikninger
    3. Glidelåsprinsippet
    4. Diskret derivasjon
    5. Metoden med summerende faktor
    6. Lineære andreordens rekursjonslikninger
    7. Noen anvendelser
    8. Løsning av inhomogene rekursjonslikninger
    9. Oppgaver til Kapittel 11
12. Rekker og konvergens
    1. Rekker
    2. Ulike typer rekker
    3. Konvergens av rekker
    4. Et divergenskriterium
    5. Leibniz’ konvergenskriterium
    6. Integralkriteriet
    7. Sammenlikningskriteriet
    8. p-rekker
    9. Konvergens av geometrisk rekke
    10. Forholdskriteriet
    11. Absolutt og betinget konvergente rekker
    12. Konvergenskriterienes følsomhet
    13. Oppgaver til Kapittel 12
13. Maclaurin- og taylorrekker
    1. Bakgrunn
    2. Definisjon av taylor- og maclaurinrekker
    3. Taylorpolynomer og restleddsformelen
    4. Manipulasjon av rekker
    5. Derivasjon og integrasjon av rekker ledd for ledd.
    6. Den binomiske rekka.
    7. Konvergensradius og konvergensintervall for potensrekker
    8. Hvordan finne konvergensradien til ei potensrekke?
    9. Oppgaver til Kapittel 13

• Referanser
• Fasit til oppgavene
• Stikkordsregister