Die euklidische Geometrie ist unverzichtbare Grundlage vieler Berufe, da sie wirkungsvoll zur Schulung des Anschauungsvermögens wie auch des logischen Denkens beiträgt und zugleich einen realen Praxisbezug besitzt. Ausführungen wenden sich an Studierende mit Haupt- oder Nebenfach Mathematik ab dem zweiten Semester, insbesondere auch an Studierende der Lehrämter, ferner an alle, die einen umfassenden Kanon wichtiger Sätze der ebenen und räumlichen euklidischen Geometrie kennenlernen möchten.
Kostenloses Lehrbuch
Ebene und räumliche euklidische Geometrie Band 1
Ebene euklidische Geometrie
Beschreibung
Inhalt
- Historische und methodische Vorbemerkungen
- Euklid und das Parallelenaxiom
- Entdeckung der hyperbolischen Geometrie
- Pasch und Hilbert
- Neuere Entwicklungen
- Aufgaben
- Definition normaler euklidischer Ebenen
- Vorüberlegungen in der Anschauungsebene
- Affine Ebenen und Parallelität
- Kongruenzaxiom und Zirkelaxiom
- Definition normaler euklidischer Ebenen
- Einige didaktische und methodische Bemerkungen
- Aufgaben
- Punktspiegelungen und Translationen
- Folgerungen aus dem Parallelenaxiom
- Kollineationen und Bewegungen
- Existenz und Eigenschaften der Punktspiegelungen
- Translationen
- Aufgaben
- Orthogonalität
- Definition und Grundeigenschaften
- Mittelsenkrechten und Höhen im Dreieck
- Elementare Konstruktionen
- Der Satz des Thales
- Geraden und Kreise
- Klassifizierung von Dreiecken und Vierecken
- Aufgaben
- Spiegelungen und Bewegungen
- Existenz und Transitivität der Spiegelungen
- Translationen, Drehungen und Spiegelungen
- Der Dreispiegelungssatz
- Darstellung der Bewegungen durch Spiegelungen
- Involutorische Bewegungen
- Gleitspiegelungen
- Transitivität von Bewegungen
- Kongruenz
- Symmetrie
- Winkelhalbierende bei Dreiecken
- Aufgaben
- Winkel zwischen Geraden
- Vorbemerkung über Winkel
- Gleichsinnige Kongruenz
- Konformität
- Grundeigenschaften
- Winkel und Kreise
- Geometrische Winkelmessung
- Ein 8-Kreise-Satz für schlichte Vierecke
- Aufgaben
- Definition euklidischer Ebenen
- Motivation
- Definition
- Isomorphie
- Winkel und Kreise in euklidischen Ebenen
- Grundeigenschaften der Kreise
- Der Kreiswinkelsatz
- Der Kreisvierseitsatz
- Sätze von Pappus und Pascal
- Weitere Schließungssätze
- Aufgaben
- Algebraische Darstellung euklidischer Ebenen
- Existenz gleichsinniger Ähnlichkeiten
- Transitivität gleichsinniger Ähnlichkeiten
- Gewinnung einer quadratischen Körpererweiterung
- Algebraische Darstellung von Kreisen und Ähnlichkeiten
- Der Hauptsatz
- Der Isomorphiesatz
- Konstruktion von Modellen
- Aufgaben
- Teilverhältnisse
- Charakteristik eines Körpers
- Definition und Grundeigenschaften von Teilverhältnissen
- Ähnlichkeitssätze und Strahlensätze
- Sätze von Menelaos, Ceva und Brianchon
- Aufgaben
- Kongruenz und Metrik
- Kongruenz
- Gegensinnige Ähnlichkeiten
- Algebraische Beschreibung der Kongruenz
- Kennzeichnung normaler euklidischer Ebenen
- Kennzeichnung und Darstellung der Bewegungen
- Weitere Sätze über Ähnlichkeiten
- Arithmetische Winkelmessung
- Sätze von Pythagoras und Euklid
- Sekantensatz und Büschelsätze
- Schwerpunkt und Eulergerade eines Dreiecks
- Ein Satz von Morley
- Aufgaben
- Anordnung und Metrik
- Die Anschauungsebene
- Euklidische Körper
- Darstellung klassischer euklidischer Ebenen
- Abstandsmessung
- Strecken, Strahlen und Speere
- Ebene Anordnungseigenschaften
- Vollständige euklidische Ebenen
- Aufgaben
- Flächenmessung und Orientierung
- Determinanten
- Das Determinantenmaß
- Flächenmessung
- Orientierung
- Aufgaben
- Winkel in klassischen euklidischen Ebenen
- Winkel zwischen Strahlen
- Orientierte Winkel zwischen Strahlen
- Trigonometrische Funktionen
- Gewöhnliche Winkel
- Metrische Eigenschaften von Dreiecken
- Goldener Schnitt und reguläre Fünfecke
- Reelle Trigonometrie
- Aufgaben
