Matematisk Analyse 4b

Hermed følger en vejledning til regning af opgaver med Fourierrækker, differentialligningssystemer og egenværdiproblemer. Opmærksomheden henledes på, at det ikke har været meningen hermed at skrive en alternativ lærebog, thi en sådan ville være blevet disponeret anderledes. Det er derimod mit håb, at teksten kan bruges som et supplement til de gængse lærebøger, hvori alle beviserne findes.

Teksten forudsætter Ventus: Matematisk Analyse 1a, Funktioner i en Variabel og Ventus: Matematisk Analyse 3b, Følger og Potensrækker, som den vil være en fortsættelse af.

Kapitel 1 i denne bog er en kort repetition af nyttige trigonometriske formler, som vil blive brugt igen og igen i forbindelse med Fourierrækker. Det er en del af det større Kapitel 1 i Ventus: Matematisk Analyse 3b, Følger og Potensrækker, hvor vi her udelukkende koncentrerer os om de trigonometriske funktioner. Dette indledende kapitel bør studeres grundigt sammen med Appendix A, der består af en samling af de formler, der underforstås kendt fra gymnasiet og tidligere kurser i Matematisk Analyse. Da de ikke vil blive gennemgået, vil det være en god ide, om man i løbet af semestret selv lærte de fleste formler i Appendix A udenad.

Stoffet i de efterfølgende kapitler er noget sværere end i de ovenfor nævnte værker om Matematisk Analyse. Teorien for Fourierrækker er ganske vist et standardemne, men har altid faldet de studerende vanskeligt. Som en nyskabelse er tilføjet et kapitel med et katalog over standardeksempler og standardopgaver med resultater, men uden de tilhørende regninger.

Dernæst følger lidt om lineære differentialligningssystemer, hvor man i høj grad må benytte resultater fra Lineær Algebra. Der er her gjort et forsøg på at finde de letteste løsningsmetoder, idet de traditionelle lærebøger har en tendens til at benytte en stil, der mere er i tråd med avancerede bøger i matematik uden tanke for, at brugeren også (eller måske navnlig) gerne ville se, hvordan man bruger teorien i praksis. I en af varianterne benyttes Caley-Hamiltons sætning fra Lineær Algebra, som ikke kan forudsættes bekendt af alle læsere. Teorien illustreres ved (2 × 2)-matricer.

Til sidst følger en kort gennemgang af egenværdiproblemet. Dette emne er virkelig svært, og man kan kun få udbytte af det, når man mindst har teorien for Fourierrækker til rådighed. På den anden side er problematikken omkring egenværdiproblemet særdeles relevant inden for ingeniørvidenskaberne – her illustreret ved teorien for udbøjning af bjælker og søjler, men jeg kender også til anvendelser fx. inden for kloridindtrængning i beton, et emne, der langtfra er udtømt endnu. Disse to anvendelser har overbevist mig om, at egenværdiproblemet er centralt ved anvendelserne; men da teorien samtidigt er svær, er der en tilbøjelighed til at nedtone det ved undervisningen, hvilket er lidt synd. Jeg vil dog ikke påstå, at jeg hermed har fundet den rette form.

Efter aftale med Ventus forsynes alle noter i Matematisk Analyse fremover med et løbenummer – her 4 – og et bogstav – her b – hvor

a står for “kompendium”,

b står for “løsningsprocedurer for standardopgaver”,

c står for “eksempler”.

Ud over denne ændring er der blevet rettet nogle uundgåelige småfejl.

Leif Mejlbro

1. Repetition af vigtige trigonometriske formler
   1. Trigonometriske formler
   2. Integration af trigonometriske polynomier
2. Fourierrækker; metoder ved opgaveregning
   1. Generelt
   2. Standardmetode
   3. Standard-Fourierrækker
   4. Firkantfunktion
   5. Den identiske funktion i
   6. Frste savtakfunktion
   7. Anden savtakfunktion
   8. Udvikling af cosinus i sinus-række over en halv periode
   9. Symmetrisk parabelbue i
   10. Hyperbolsk cosinus i
   11. Eksponentialfunktion over
3. Et katalog over opgaver i Fourierrækker
   1. Stykkevis konstant funktion
   2. Stykkevis lineære funktioner
   3. Stykkevist af anden grad
   4. Stykkevist af 3. grad
   5. Stykkevist af 4. grad
   6. Stykkevis sinus
   7. Stykkevis cosinus
   8. Blandet sinus og cosinus
   9. Stykkevist polynomium gange trigonometrisk
   10. Eksponentialfunktionen indgår
   11. Problemet med lodret halvtangent
4. Lineære dierentialligningssystemer, metoder
   1. Eksistens- og entydighedssætningen (EE)
   2. Konstant systemmatrix A
   3. Egenværdimetoden, reelle egenværdier, A konstant (2 & 2)-matrix
   4. Egenværdimetoden, komplekst konjugerede egenværdier, komplekse regninger
   5. Egenværdimetoden, komplekst konjugerede egenværdier, reelle regninger
   6. Direkte bestemmelse af eksponentialmatricen exp(At)
   7. Fumlemetoden
   8. Løsning af et inhomogent, lineært differentialligningssystem
5. Egenværdiproblemet for differentialligninger
   1. Konstante koeffcienter
   2. Specialtilfælde; gættemetoden
   3. Begyndelsesværdiproblemet
   4. Randværdiproblemet
   5. Egenværdiproblemet
   6. Eksempler
6. Formler
   1. Kvadrater m.m
   2. Potensregler m.m.
   3. Differentiationsregler
   4. Specielle afledede
   5. Integrationsregler
   6. Specielle stamfunktioner
   7. Trigonometriske formler
   8. Hyperbolske formler
   9. Komplekse overgangsformler
   10. Taylorudviklinger
   11. Størrelsesorden